Sayma Konu Anlatımı

27 Temmuz 2017 10. Sınıf, Sayma

Sayma Konu Anlatımı

Sayma konu anlatımında faktöriyel kavramı, permütasyon(sıralama), kombinasyon(seçme) , binom açılımı ve pascal üçgeni konu anlatımı bulunmaktadır.

1- Eşleme Yoluyla Sayma : Bir kümenin elemanları ile sayma sayılar kümesinin elemanları bire bir eşleme yöntemiyle bu kümenin eleman sayısını bulmaya eşleme yoluyla sayma denir.
Örnek : Bir futbol takımındaki futbolcuları 1, 2, 3, 4, … ile eşleyip futbolcu sayısını bulma işlemi eşleme yoluyla saymadır.
2- Toplama Yoluyla Sayma : Ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısını toplama işlemi yaparak bulmaya, toplama yoluyla sayma denir.
• A ∩ B = Ø olmak üzere, s(AUB) = s(A) + s(B) dir.

Örnek : Ali’ nin 3 farklı pantolonu, 4 farklı gömleği vardır. Ali 1 pantolon veya 1 gömleği kaç farklı şekilde giyebilir?

Çözüm : Sorunun püf noktası ‘veya’ demesidir. Hangi giysiyi giydiğinin bir önemi yoktur. Dolayısıyla 1 pantolon ve 1 gömleği 3+4 = 7 şekilde giyebilir.

3- Çarpma Yoluyla Sayma: Ayrık iki kümenin elemanlarıyla oluşturulacak kümenin elaman sayısını çarpma işlemi yaparak bulmaya, çarpma yoluyla sayma denir.
a herhangi bir işlemin gerçekleşme yollarının sayısı, b de ikinci bir işlemin geran çekleşme yollarının sayısını göstersin. a yoldan yapılan birinci işlemden sonra ikinci işlem b yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte a.b yolla yapılabilir.

Örnek: Antalya’dan Afyon’a 3 farklı yol, Afyon’dan İstanbul’a ise 4 farklı yol vardır. Antalya’dan İstanbul’a gitmek isteyen bir yolcu Afyon’a uğramak koşuluyla kaç değişik yoldan gidebilir?
Çözüm: Yolcu Antalya’dan Afyon’a gitmek için seçtiği bir yoldan sonra Afyon’dan İstanbul’a gitmek için önünde 4 yol olacaktır. O halde toplamda 3×4 = 12 değişik yoldan gidebilir.

Kritik Nokta

Sayma ve olasılık konusunda sorularda kullanılan bağlaçlar çok önemlidir. ‘ve’ , ‘veya’ bağlaçları aynı anlamda kullanılmaz. ‘veya’ bağlacı birleşim olarak yani ‘ikisi de olabilir, ihtimal’ anlamı katarken, ‘ve’ bağlacı ise kesişim yani ‘ikisi de mutlaka olmalı, şart’ anlamı taşımaktadır.

Örnek : Ahmet bir lokantada yemek yiyecektir. 3 çeşit çorba, 4 çeşit ana yemek, 5 çeşit tatlı vardır.
a) Ahmet bunlardan sadece birini yemek isterse kaç farklı seçim yapabilir?
Çözüm : 3 + 4 + 5 = 12 seçim yapabilir.

b) Ahmet bir çorba, bir ana yemek ve bir tatlı yemek isterse kaç değişik seçim yapabilir?
Çözüm : 3.4.5 = 60 farklı seçim yapabilir.

Örnek : 4 arkadaş bir koltuğa kaç farklı şekilde oturabilirler?
Çözüm : Birinci kısma 4 kişi, ikinci kısma 3 kişi, üçüncü kısma 3 kişi, son kısma 1 kişi oturabileceğinden toplam 4.3.2.1 = 4 ! = 24 farklı şekilde oturabilirler.

Örnek : 20 kişilik bir sınıftan bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm : 20. 19 = 380 farklı şekilde seçilebilirler.

Örnek : A = {1,3,5} kümesinin elemanları ile üç basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir?
Çözüm : Rakamlar farklı demediği için 3.3.3 = 27 sayı yazılabilir.

Örnek : A = {2,4,6,8} kümesinin elemanlar ile rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?
Çözüm : Rakamlar farklı dediği için bir sayı en fazla bir kez kullanılabilir. O halde 4.3.2 = 24

Kritik Nokta

Rakam kullanarak sayı yazmaya çalışılan sorularda bazı hususlara dikkat etmek gerekir. Eğer soru rakamlar tekrarsız diye belirtmemişse;
a) Her basamağa her sayı yazılabilir.
b) Özellikle istenen bir şart varsa o basamak en önce ele alınmalıdır.
c) Belirtilen rakamlar içinde ‘0’ var ise oluşturulacak sayının ilk basamağında ‘0’ olmayacağı unutulmamalıdır.
Eğer soru rakamlar tekrarsız diye belirtmişse;
a) İstisnai bir durum yoksa her bir basamaktaki rakam sayısı bir azaltılır.
b) Özellikle istenen bir şart varsa o basamak en önce ele alınmalıdır.
c) Belirtilen rakamlar içinde ‘0’ var ise oluşturulacak sayının ilk basamağında ‘0’ olmayacağı unutulmamalıdır.

Örnek : A = {1,3,5,6,8,0} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir?
Çözüm : Birler basamağına tek sayı dediği için 3 sayı yazılabilir. Yüzler basamağına sıfır gelemeyeceği için 4 sayı yazılabilir. O halde cevap 4 . 4 . 3 = 48 sayı yazılabilir.

Örnek : A = {3, 4, 6, 7, 9} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı 745’ ten küçük kaç sayı yazılabilir?
Çözüm : 700’den küçük sayılar ayrı büyük sayılar ayrı düşünülmedir. Küçükler için yüzler basamağına 3, onlar basamağına 4, birler basamağına 3 sayı yazılabileceğinden 3. 4. 3 = 36 olur. 700’ den büyük sayılar için yüzler basmağı sadece 7 , onlar basamağını 4 diye düşünürsek birler basamağı sadece 3 olabilir. 1. 1. 1 = 1 Yüzler basmağı sadece 7 , onlar basamağını 3 diye düşünürsek birler basamağı 4 değer olabilir. 1. 1. 4 = 4 O halde toplam 36 + 4 + 1 = 41 olabilir.

Örnek : 4 şıklı 50 soruluk bir testte arka arkaya iki şık aynı olmamak kaydıyla kaç farklı şekilde cevap anahtarı hazırlanabilir?
Çözüm : Birinci soru için 4 cevap söz konusudur. İkinci soru için ise birinci soru ile aynı olan şık doğru cevap olamayacağına göre 3 durum söz konusudur. Bundan sonraki her soru için 3 şık söz konusu olacağından cevap 4 . 349 olacaktır.

Örnek : 4 bilye 5 bardağa kaç değişik şekilde koyulabilir?
Çözüm : Herhangi bir şart koşmadığı için birinci bilye 5 bardaktan birine, ikinci bilye 5 bardaktan birine, üçüncü, dördüncü ve beşinci bilyeler 5 bardaktan birine konulacağı için 5. 5. 5. 5 = 54 değişik şekilde konulabilir.

Faktöriyel Kavramı

n bir doğal sayı olmak üzere, 1’den n’ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir.

1! = 1
2! = 2.1
3! = 3.2.1
4! = 4.3.2.1
5! = 5.4.3.2.1

Yani n pozitif sayı olmak üzere n! = n .(n-1)! = n.(n-1).(n-2)! = n.(n-1).(n-2).(n-3)! dir.
Örnek : 12! = 12.11! = 12.11.10! = 12.11.10.9! = 11.5.33.23.8! şeklinde yazılabilir.

Örnek : 12! = 12.11! = 12.11.10! = 12.11.10.9! = 11.5.3³.2³.8! şeklinde yazılabilir.

Kritik Nokta

Faktöriyel konusunda dikkat edilmesi gereken en önemli nokta 0! ‘in değeridir. 0! ‘ in değeri faktöriyel mantığı ile düşünüldüğünde 0 gibi görünse de burada özel bir durum söz konusudur. Değeri 1 dir. O halde 0! gördüğünüz sorularda değerin 1 olduğuna dikkat ediniz. 0! = 1 dir.

sayma-ornek-2 sayma-ornek-1

Permütasyon (Sıralama)

n ve r doğal sayılar olmak kaydıyla ve r ≤ n olmak üzere, n tane elemanın r’li sıralanışlarının her birine n’nin r’li permütasyonu denir.

n elemanın r’li permütasyonlarının sayısı,

permutasyon

Kritik Nokta

Permütasyon sorularında sık sorulan bazı soru tipleri vardır. Soru çözerken şu noktalara dikkat ediniz.

•n tane farklı eleman yan yana n! şekilde dizilirler.
•n tane elemanın r tanesinin yan yana olma şartından bahsediliyorsa bu durumda r tane eleman tek bir eleman gibi düşünülüp diğer elemanlarla birlikte sıralamalarının sayısı bulunur. Bu arada bu r tane elemanın kendi aralarındaki sıralamalarının sayısının unutulmayıp bir önceki sıralama ile çarpılması gerekmektedir.
•Eleman sayısı verilen sonlu bir kümenin r’li permütasyonlarının kaçında herhangi bir elemanın bulunmadığı soruluyorsa o elemanın dışındaki elemanların r’li permütasyonu alınır.
•Eleman sayısı verilen sonlu bir kümede herhangi bir elemanın bulunduğu r’li permütasyonların sayısı soruluyorsa tüm durumlardan o elemanın bulunmadığı durumlar çıkartılarak sonuç bulunur.

Örnek : Farklı 4 kimya ve 5 biyoloji kitabı bir rafa yan yana sıralanacaklardır.
a) Aynı dersin kitapları yan yana olmak şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
b) Sıralamanın başında ve sonunda biyoloji kitabı ve kimya kitapları bir arada olmak koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
Çözüm :
a) Kimya kitapları kendi içinde 4!, fizik kitapları kendi içinde 5! İki tür kitaplar kendi arasında 2! Şekilde sıralanacağından cevap 2! . 4! . 5! olacaktır.
b) Sıralamanın başında ve sonunda biyoloji kitabı olacağından sol baş kısma 5 kitaptan, sağ baş kısma 4 kitaptan biri seçilir. Geriye kalan 3 biyoloji kitabı ile kimya kitapları bir grup olarak 4! sıralanır. Kimya kitapları da kendi arasında 4! şeklinde sıralanacağından sorunun cevabı 5 . 4! . 4! . 4 olacaktır.

Örnek : A = {1,3,5,6,8,9} kümesinin;

Üçlü permütasyonlarının kaçında 5 bulunur?
Üçlü permütasyonlarının kaçında 1 bulunur, 9 bulunmaz?

Çözüm :

Üçlü permütasyonların tamamından 5’in bulunmadığı üçlü permütasyonların sayısını çıkartırsak geriye 5’in bulunduğu üçlü permütasyonların sayısı kalır.
Küme 6 elemanlıdır. Üçlü permütasyonlarda bu elemanlardan birinin olması birinin olmaması istenmektedir. O halde elemanın biri atılırsa 5 eleman sıralanacaktır. Bunlardan da biri mutlaka yer alacağı için geriye 4 eleman içinden sıralanacak 2 eleman kalmıştır. ‘1’ elamanının sıralamanın başında ya sa sonunda olup olmadığı da belli olmadığından cevap;

KARPUZ kelimesindeki harflerin yer değiştirilmesiyle elde edilen altı harfli kelimeler alfabetik sırayla yazılıyor. Buna göre baştan 250. kelime nedir?

Çözüm : Alfabetik sıra ile yazacak olursak önce A ile başlayan kelimeler yazılır.

A ile başlayanlar 5! = 120 tane

K ile başlayanlar 5! = 120 tane 120 + 120 = 240 250 – 240 = 10 kelime kaldı.

P ile başlayan kelimelerden PAK … = 3! = 6 PARK . . = 2! = 2 249. kelime = PARUKZ 250. kelime = PARUZK olur.

Kombinasyon (Seçme)

kombinasyon-konu-anlatimi-1 kombinasyon-konu-anlatimi-2

kombinasyon-konu-anlatimi-3

kombinasyon-konu-anlatimi-4

Kritik Nokta

a tane eleman eşit iki farklı gruba ayrılıyorsa seçim sonucunu 2! İle bölmemiz gerekir. a tane eleman eşit üç farklı gruba ayrılıyorsa seçim sonucunu 3! İle bölmemiz gerekir. Bu işlemler eğer gruplar belirsiz olursa geçerli olacaktır.

kombinasyon-konu-anlatimi-6

kombinasyon-konu-anlatimi-7

kombinasyon-konu-anlatimi-8

kombinasyon-konu-anlatimi-9

Binom Açılımı

a ve b reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere;

binom-acilimi-1

İfadesine bu iki terimin açılımı ya da binom açılımı denilmektedir. Açılımda dikkat edilmesi gereken bazı noktalar vardır.

Kritik Nokta

binom-acilimi-2

binom-acilimi-3

Pascal Üçgeni

(a+b)ⁿaçılımdaki terimlerin katsayıları pascal üçgeni ile bulunabilir. Pascal üçgeninde her satırın ilk ve son sayısı 1 ‘dir. Bir satırdaki ardışık iki sayının toplamı bir alt satırda bu iki sayının arasına yazılan sayıya eşit olduğu görülmektedir.

pascal-ucgeni

pascal-ucgeni-1

Sayma, Faktöriyel, Permütasyon, Kombinasyon, Binom Açılımı, Pascal Üçgeni

Kimya’dan eksiğiniz kalmasın 🙂 Kimya konu anlatımları için tıklayın.

[Toplam:1 Ortalama:5/5]

anlatımı, konu, Sayma, yks, YKS Konuları