Sayma Konu Anlatımı
Sayma Konu Anlatımı
1- Eşleme Yoluyla Sayma : Bir kümenin elemanları ile sayma sayılar kümesinin elemanları bire bir eşleme yöntemiyle bu kümenin eleman sayısını bulmaya eşleme yoluyla sayma denir.
Örnek : Bir futbol takımındaki futbolcuları 1, 2, 3, 4, … ile eşleyip futbolcu sayısını bulma işlemi eşleme yoluyla saymadır.
2- Toplama Yoluyla Sayma : Ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısını toplama işlemi yaparak bulmaya, toplama yoluyla sayma denir.
• A ∩ B = Ø olmak üzere, s(AUB) = s(A) + s(B) dir.
Çözüm : Sorunun püf noktası ‘veya’ demesidir. Hangi giysiyi giydiğinin bir önemi yoktur. Dolayısıyla 1 pantolon ve 1 gömleği 3+4 = 7 şekilde giyebilir.
a herhangi bir işlemin gerçekleşme yollarının sayısı, b de ikinci bir işlemin geran çekleşme yollarının sayısını göstersin. a yoldan yapılan birinci işlemden sonra ikinci işlem b yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte a.b yolla yapılabilir.
Çözüm: Yolcu Antalya’dan Afyon’a gitmek için seçtiği bir yoldan sonra Afyon’dan İstanbul’a gitmek için önünde 4 yol olacaktır. O halde toplamda 3×4 = 12 değişik yoldan gidebilir.
a) Ahmet bunlardan sadece birini yemek isterse kaç farklı seçim yapabilir?
Çözüm : 3 + 4 + 5 = 12 seçim yapabilir.
b) Ahmet bir çorba, bir ana yemek ve bir tatlı yemek isterse kaç değişik seçim yapabilir?
Çözüm : 3.4.5 = 60 farklı seçim yapabilir.
Çözüm : Birinci kısma 4 kişi, ikinci kısma 3 kişi, üçüncü kısma 3 kişi, son kısma 1 kişi oturabileceğinden toplam 4.3.2.1 = 4 ! = 24 farklı şekilde oturabilirler.
Çözüm : 20. 19 = 380 farklı şekilde seçilebilirler.
Çözüm : Rakamlar farklı demediği için 3.3.3 = 27 sayı yazılabilir.
Çözüm : Rakamlar farklı dediği için bir sayı en fazla bir kez kullanılabilir. O halde 4.3.2 = 24
a) Her basamağa her sayı yazılabilir.
b) Özellikle istenen bir şart varsa o basamak en önce ele alınmalıdır.
c) Belirtilen rakamlar içinde ‘0’ var ise oluşturulacak sayının ilk basamağında ‘0’ olmayacağı unutulmamalıdır.
Eğer soru rakamlar tekrarsız diye belirtmişse;
a) İstisnai bir durum yoksa her bir basamaktaki rakam sayısı bir azaltılır.
b) Özellikle istenen bir şart varsa o basamak en önce ele alınmalıdır.
c) Belirtilen rakamlar içinde ‘0’ var ise oluşturulacak sayının ilk basamağında ‘0’ olmayacağı unutulmamalıdır.
Çözüm : Birler basamağına tek sayı dediği için 3 sayı yazılabilir. Yüzler basamağına sıfır gelemeyeceği için 4 sayı yazılabilir. O halde cevap 4 . 4 . 3 = 48 sayı yazılabilir.
Çözüm : 700’den küçük sayılar ayrı büyük sayılar ayrı düşünülmedir. Küçükler için yüzler basamağına 3, onlar basamağına 4, birler basamağına 3 sayı yazılabileceğinden 3. 4. 3 = 36 olur. 700’ den büyük sayılar için yüzler basmağı sadece 7 , onlar basamağını 4 diye düşünürsek birler basamağı sadece 3 olabilir. 1. 1. 1 = 1 Yüzler basmağı sadece 7 , onlar basamağını 3 diye düşünürsek birler basamağı 4 değer olabilir. 1. 1. 4 = 4 O halde toplam 36 + 4 + 1 = 41 olabilir.
Çözüm : Birinci soru için 4 cevap söz konusudur. İkinci soru için ise birinci soru ile aynı olan şık doğru cevap olamayacağına göre 3 durum söz konusudur. Bundan sonraki her soru için 3 şık söz konusu olacağından cevap 4 . 349 olacaktır.
Çözüm : Herhangi bir şart koşmadığı için birinci bilye 5 bardaktan birine, ikinci bilye 5 bardaktan birine, üçüncü, dördüncü ve beşinci bilyeler 5 bardaktan birine konulacağı için 5. 5. 5. 5 = 54 değişik şekilde konulabilir.
Faktöriyel Kavramı
n bir doğal sayı olmak üzere, 1’den n’ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir.
1! = 1
2! = 2.1
3! = 3.2.1
4! = 4.3.2.1
5! = 5.4.3.2.1
Örnek : 12! = 12.11! = 12.11.10! = 12.11.10.9! = 11.5.33.23.8! şeklinde yazılabilir.
Örnek : 12! = 12.11! = 12.11.10! = 12.11.10.9! = 11.5.33.23.8! şeklinde yazılabilir.
Permütasyon (Sıralama)
n ve r doğal sayılar olmak kaydıyla ve r ≤ n olmak üzere, n tane elemanın r’li sıralanışlarının her birine n’nin r’li permütasyonu denir.
n elemanın r’li permütasyonlarının sayısı,
Permütasyon sorularında sık sorulan bazı soru tipleri vardır. Soru çözerken şu noktalara dikkat ediniz.
•n tane farklı eleman yan yana n! şekilde dizilirler.
•n tane elemanın r tanesinin yan yana olma şartından bahsediliyorsa bu durumda r tane eleman tek bir eleman gibi düşünülüp diğer elemanlarla birlikte sıralamalarının sayısı bulunur. Bu arada bu r tane elemanın kendi aralarındaki sıralamalarının sayısının unutulmayıp bir önceki sıralama ile çarpılması gerekmektedir.
•Eleman sayısı verilen sonlu bir kümenin r’li permütasyonlarının kaçında herhangi bir elemanın bulunmadığı soruluyorsa o elemanın dışındaki elemanların r’li permütasyonu alınır.
•Eleman sayısı verilen sonlu bir kümede herhangi bir elemanın bulunduğu r’li permütasyonların sayısı soruluyorsa tüm durumlardan o elemanın bulunmadığı durumlar çıkartılarak sonuç bulunur.
a) Aynı dersin kitapları yan yana olmak şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
b) Sıralamanın başında ve sonunda biyoloji kitabı ve kimya kitapları bir arada olmak koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
Çözüm :
a) Kimya kitapları kendi içinde 4!, fizik kitapları kendi içinde 5! İki tür kitaplar kendi arasında 2! Şekilde sıralanacağından cevap 2! . 4! . 5! olacaktır.
b) Sıralamanın başında ve sonunda biyoloji kitabı olacağından sol baş kısma 5 kitaptan, sağ baş kısma 4 kitaptan biri seçilir. Geriye kalan 3 biyoloji kitabı ile kimya kitapları bir grup olarak 4! sıralanır. Kimya kitapları da kendi arasında 4! şeklinde sıralanacağından sorunun cevabı 5 . 4! . 4! . 4 olacaktır.
- Üçlü permütasyonlarının kaçında 5 bulunur?
- Üçlü permütasyonlarının kaçında 1 bulunur, 9 bulunmaz?
Çözüm :
- Üçlü permütasyonların tamamından 5’in bulunmadığı üçlü permütasyonların sayısını çıkartırsak geriye 5’in bulunduğu üçlü permütasyonların sayısı kalır.
- Küme 6 elemanlıdır. Üçlü permütasyonlarda bu elemanlardan birinin olması birinin olmaması istenmektedir. O halde elemanın biri atılırsa 5 eleman sıralanacaktır. Bunlardan da biri mutlaka yer alacağı için geriye 4 eleman içinden sıralanacak 2 eleman kalmıştır. ‘1’ elamanının sıralamanın başında ya sa sonunda olup olmadığı da belli olmadığından cevap;
KARPUZ kelimesindeki harflerin yer değiştirilmesiyle elde edilen altı harfli kelimeler alfabetik sırayla yazılıyor. Buna göre baştan 250. kelime nedir?
Çözüm : Alfabetik sıra ile yazacak olursak önce A ile başlayan kelimeler yazılır.
A ile başlayanlar 5! = 120 tane
K ile başlayanlar 5! = 120 tane 120 + 120 = 240 250 – 240 = 10 kelime kaldı.
P ile başlayan kelimelerden PAK … = 3! = 6 PARK . . = 2! = 2 249. kelime = PARUKZ 250. kelime = PARUZK olur.
Kombinasyon (Seçme)
Binom Açılımı
a ve b reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere;
İfadesine bu iki terimin açılımı ya da binom açılımı denilmektedir. Açılımda dikkat edilmesi gereken bazı noktalar vardır.
Pascal Üçgeni
(a+b)n açılımdaki terimlerin katsayıları pascal üçgeni ile bulunabilir. Pascal üçgeninde her satırın ilk ve son sayısı 1 ‘dir. Bir satırdaki ardışık iki sayının toplamı bir alt satırda bu iki sayının arasına yazılan sayıya eşit olduğu görülmektedir.
