Mantık Konu Anlatımı

ÖNERME

Önerme: Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler genellikle p, q, r, s, t… gibi harflerle ifade edilir.
KRTK NOKTA: Soru, emir ve ünlem cümleleri önerme değildir.

Örnek:  Buraya gel. (emir)
Nasılsın? (soru)
Eyvah! (ünlem)

Cümleleri önerme değildir.
a) Önermeleri doğruluk değerleri: Bir önerme doğru ise doğruluk değeri 1 (bir), yanlış ise 0 (sıfır)’dır. Doğruluk değerlerinin gösterildiği tabloya doğruluk tablosu denir.
NOT: n tane önermenin tane doğruluk değeri vardır.

mantik-konu-anlatimi-1

b) Denk Önermeler: Doğruluk değeri aynı olan iki önermeye denk(eş değer) önermeler denir.
p ve q denk önermeler ise p≡q biçiminde gösterilir.
Örnek: p: Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.
q: 2+4=6
Bu iki önerme de doğrudur. Bu yüzden p≡q yani bu iki önerme birbirine denktir.
c) Bir önermenin değili (olumsuzu): Bir önermenin hükmünün değiştirilmesi ile oluşan önermeye o önermenin olumsuzu(değili) denir. Bir p önermesinin değili p’ , , sembollerinden biri ile gösterilir.
NOT: Bir önermenin değilinin değili yine kendisine eşittir. ≡ p

Örnek: p: Bugün hava güneşli.
p’: Bugün hava güneşli değildir.

KRTK NOKTA: Genelde yaygın olarak yapılan hata olumsuzunu alırken cümleyi değiştirmektir. Olumsuzunu yaparken yalnızca sonuna “değildir” ifadesi getirilmelidir.

Bileşik Önermeler

İki ya da daha çok önermenin “ve” , “veya” , “ise” , “ancak ve ancak” , “ya da” bağlaçları ile birbirine bağlanmasıyla elde edilen yeni önermelere bileşik önermeler denir.

1)  veya (V) Bağlacı: p ve q iki önerme olmak üzere; pVq bileşik önermesi önermelerden en az biri doğruyken doğru (1), ikisi de yanlışken yanlıştır(0).

p q p V q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

1V1 ≡ 1
1V0 ≡ 1
0V1 ≡ 1
0V0 ≡ 0

2) ve (Ʌ) Bağlacı: p ve q iki önerme olmak üzere; pɅq bileşik önermesi önermelerden ikisi de doğru iken doğru (1), diğer bütün durumlarda yanlıştır(0).

p q pɅq
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

1Ʌ1 ≡ 1
1Ʌ0 ≡ 0
0Ʌ1 ≡ 0
0Ʌ0 ≡ 0

Ve ile veya bağlacının özellikleri

  • Tek kuvvet özelliği
    p V p ≡ p
    p Ʌ p ≡ p
  • Değişme özelliği
    p V q ≡ q V p
    p Ʌ q ≡ q Ʌ p
  • Birleşme özelliği
    p V (q V r) ≡ (p V q) V r
    p Ʌ (q Ʌ r) ≡ (p Ʌ q) Ʌ r
  • Dağılma özelliği
    p Ʌ (q V r) ≡ (p Ʌ q) V (p Ʌ r)
    p V (q Ʌ r) ≡ (p V q) Ʌ (p V r)

KRTK NOKTA: Dağılma özelliğinde sağdan veya soldan dağılma farklıdır. Hangi taraftan dağıtılırsa dağıtılan ifade o tarafta kalır. Örneğin yukarıda p önermesini soldan dağıttık ve p hep solda kaldı. Eğer sağdan dağıtsaydık sağ tarafa yazılmalıydı.

p V 1 ≡ 1 p Ʌ 1 ≡ p
p V 0 ≡ p p Ʌ 0 ≡ 0
p V p’ ≡ 1  p Ʌ p’ ≡ 0

 Örnek: p ≡ 1 q ≡ 0 r ≡ 1 olduğuna göre;
(p V q’) Ʌ (q V r) ≡ ?
Çözüm: Önermelerin doğruluk değerlerini yerine yazarsak
(1 V 1) Ʌ (0 V 1) ≡ 1 Ʌ 1 ≡ 1

Bileşik önermelerin olumsuzu ( değili):

De Morgan Kuralları

p ve q önermeleri için;

  • (p V q)’ ≡ p’ Ʌ q’
  • (p Ʌ q)’ ≡ p’ V q’

Bu kurallara De Morgan kuralları denir.

mantik-konu-anlatimi-2

Görüldüğü üzere son iki sütunda bulunan değerler aynıdır. Yani tablo yaparak De Morgan kurallarını ispatlayabiliriz.

3) ya da () bağlacı: p ve q iki önerme olmak üzere; p q bileşik önermesi bileşenlerden biri doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır.

p q p q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0

1   1 ≡ 0
1   0 ≡ 1
0  1 ≡ 1
0 0 ≡ 0

Kümelerdeki İşlemler ile Sembolik Mantık İlişkileri
Kümelerdeki işlemler ile mantık konusundaki semboller arasında benzerlikler vardır. Hangi işaretlerin birbiriyle ilişkili olduğunu tablo yardımıyla gösterelim.

Mantık 0 1 V Ʌ Değili işareti (‘)
Küme kume-boskume E  kume-birlesim  kume-kesisim Değili işareti (‘)  =

Örnek:

p V p’ ≡ 1 ifadesi küme konusu altında hangi ifadelerle ilişkilendirilebilir?
A A’ = E şeklinde ilişkilendirilebilir.

4) İse bağlacı (⇒) (Koşullu Önerme): Birinci önermesi p, ikinci önermesi q olan koşullu önermede birincisi (p) doğru, ikincisi yanlışken (q) yanlış; diğer bütün durumlarda doğrudur.

p q p⇒q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

1 ⇒ 1 ≡ 1
1 ⇒ 0 ≡ 0
0 ⇒ 1 ≡ 1
0 ⇒ 0 ≡ 1
NOT: p⇒ q koşullu önermesinde p’ ye hipotez, q’ ya hüküm denir.
NOT: p ⇒ q koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu koşullu önermeye gerektirme denir.
NOT: p ⇒ q koşullu önermesinde q önermesine, p için gerek koşul; p önermesine q için yeter koşul denilir.
KRTK NOKTA: Sorularda isse bağlacı olduğunda veya bağlacına dönüştürerek daha kolay çözebilirsiniz.
p ⇒ q ≡ p’ V q

İse bağlacının özellikleri

  • p ⇒ p ≡ 1
    p ⇒ p’ ≡ p’
    p’ ⇒ p ≡ p
  • p ⇒ q ≡ p’ V q
    (p ⇒ q)’ ≡ p Ʌ q’
    p ⇒ q ≡ q’ ⇒ p’
  • 1 ⇒ p ≡ p
    p ⇒ 1 ≡ 1
    0 ⇒ p ≡ 1
    p ⇒ 0 ≡ p’

Bir koşullu önermenin Karşıtı, Tersi, Karşıt Tersi

p ⇒ q önermesinin karşıtı: q ⇒ p
p ⇒ q önermesinin tersi: p’⇒ q’
p ⇒ q önermesinin karşıt tersi: q’ ⇒ p’

Örnek: p: x ≥ 5
q: ≥ 25 p ⇒ q önermesinin tersini, karşıtını, karşıt tersini bulunuz.
Çözüm:
p ⇒ q : x ≥ 5 ⇒ ≥ 25 önermesinin
Karşıtı: q ⇒ p : ≥ 25 ⇒ x ≥ 5
Tersi: p’ ⇒ q’ : x < 5 ⇒ x < 25
Karşıt tersi: q’ ⇒ p’ : x < 25 ⇒ x < 5

5) Ancak ve ancak (⇔) bağlacı ( İki yönlü koşullu önerme): p ve q iki önerme olmak üzere, p ve q’ nun aynı doğruluk değerinde doğru, diğer durumlarda yanlış olan bileşik önermeye iki yönlü bileşik önerme denir.

p q p ⇔ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

1 ⇔ 1 ≡ 1
1 ⇔ 0 ≡ 0
0 ⇔ 1 ≡ 0
0 ⇔ 0 ≡ 1

p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) Ʌ (q ⇒ p)

  mantik-konu-anlatimi-3

NOT:

p ⇔ 1 ≡ p
p ⇔ 0 ≡ p’
p ⇔ p ≡ 1
p ⇔ p’ ≡ 0
NOT: p ve q iki önerme olmak üzere, p ⇔ q iki yönlü koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu önermeye çift gerektirme denir.

Totoloji ve Çelişki
Bir bileşik önerme, bileşenlerin tüm doğruluk değerleri için daima yanlış olan bileşik önermeye çelişki, daima doğru olan bileşik önermeye totoloji denir.

p p’ p V p’’ p Ʌ p
1 0 1 0
0 1 1 0

p V p’ bileşik önermesi totoloji
p Ʌ p’ bileşik önermesi çelişkidir.

Açık Önermeler ve İspat Teknikleri

Açık Önerme: Doğruluğu içindeki değişkene bağlı olan önermelere açık önerme veya önerme fonksiyonu denir. Açık önermeyi doğru yapan değerlerin kümesine açık önermenin doğruluk kümesi denir.
Örnek: 7 bir çift sayıdır. Bu bir yanlış açık önermedir.
15 tek sayıdır. Bu bir doğru açık önermedir.
Niceleyiciler:
Önüne gelen elemanlarının niceliğini belirten “her” ve “bazı” sözcüklerine niceleyici denir.
Bazı niceleyicisi, en az bir anlamına gelir. Ǝ sembolü ile gösterilir.
Her niceleyicisi, bütün anlamına gelir. Ɐ sembolü ile gösterilir.
NOT: Bazı niceleyicisinin tersi her niceleyicisi, her niceleyicisinin tersi bazıdır.

İspat Teknikleri:
Tanım: Bir kavramın niteliklerini eksiksiz olarak belirtmeye tanım denir.
Aksiyom: Doğruluğu ispatsız olarak kabul edilen önermelere denir.
Teorem: Doğruluğu ispatlanması gereken önermelere denir. Bir teoremin verilen kısmına hipotez, ispatlanacak olan kısmına hüküm denir.

İspat Yöntemleri:

mantik-konu-anlatimi-4

 

 

3 Responses to Mantık Konu Anlatımı

  1. öğrenci dedi ki:

    gerçekten işime yaradı çok teşekkürler.

  2. ali fırat dedi ki:

    elinize saglık işe yaradı. YAG

  3. müge dedi ki:

    Ellerinize sağlık çok güzel olmuş.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir