Kümeler Konu Anlatımı

KÜMELER

Küme: Kavramlardan veya nesnelerden oluşan iyi tanımlanmış grup veya topluluğa küme denir.

Kritik Nokta: Küme belirtme şartından bahsedecek olursak öncelikle grup ya da toplulukta kesin hükümler yer almalı, belirsizlik bulunmamalı bir diğer şart ise grup ya da topluluk tanımlanmalı yani grubun adı konulmuş olmalıdır.

Örnek: 5 ‘ ten küçük pozitif tam sayılar ifadesi küme belirtir. Çünkü ifade kesin ve iyi tanımlanmıştır.

  • Kümeler genellikle büyük harflerle gösterilir. D, E, F kümesi gibi…
  • Kümeyi oluşturan ögelere eleman denir. 1 elemanı D kümesine ait ise 1 є D şeklinde yazılır.

Kritik Nokta: Kümede aynı eleman sadece bir kez yazılır, elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. D kümesinin eleman sayısı s(D) veya n(D) şeklinde gösterilir.

1 ) Kümelerin Gösterimi

A ) Liste Yöntemi:  Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.

Örnek: D = {1,2,3,0}  ise s(D) = 4 dür.

 

B ) Venn Şeması: Küme aşağıda gösterildiği gibi kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile belirtilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir. kume-konu-anlatim-3 C ) Ortak Özellik Yöntemi: Kümenin elemanlarını; daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde, gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir  ifade olarak ortaya koyma biçimidir. A = {x : (x in özeliği)}

  • Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.
  • Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.

Örnek:   B : {x│ x < 6   x є N}  (x ,6 ‘ dan küçük doğal sayılar)

Küme Çeşitleri

 1 ) Boş Küme: Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } ya da Ø sembolleri ile gösterilir.

 

Kritik Nokta: {Ø} ve {0} kümeleri boş küme değil, elaman sayıları bir olan iki farklı kümedir.

 

 

2 ) Eşit Küme: Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir.

Örnek: A = {a,b} B = {a,b} ise  A = B dir. A kümesi B kümesine eşit ise A = B ile gösterilir.

3 ) Denk Küme: Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. C kümesi D kümesine denk ise C ≡ D ile gösterilir.

Örnek:  K = {1,2,3} L = {e,f,g} ise s(K) = s(L) yani K ≡ L dir.

 

Kritik Nokta: Eşit olan kümeler aynı zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

 

4 ) Ayrık Küme: Ortak elemanları olmayan kümelere ayrık kümeler denir.

Örnek: E = {1,2} G = {e,f} ise E ve G ayrık kümelerdir.

 

5 ) Sonlu Küme: Elemanları sayılabilen kümeye sonlu küme denir.

Örnek: A = { 3 ≤ x < 8  x є Z} kümesi sonlu bir kümedir.

 

6 ) Sonsuz Küme: Elemanları bilinen fakat sayılamayan kemelere sonsuz küme denir.

Örnek: A = { 3 ≤ x < 8  x є R} kümesi sonsuz bir kümedir. Ayrıca doğal sayılar, tamsayılar ,rasyonel sayılar kümeleri de sonsuz kümelere örnek verilebilir.

 

7 ) Alt Küme: A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir. A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A kume-altkume  B biçiminde gösterilir. A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B kume-kapsar A biçiminde gösterilir.

Örnek: A = {a,b,c} B = {a,b} ise kume-altkume A ya da kume-kapsar B dir.  

 

Alt Kümenin Özellikleri

  • Yansıma Özelliği: Her küme kendisinin alt kümesidir. A kume-altkume A
  • Etkisiz Eleman Özelliği: Boş küme her kümenin alt kümesidir. kume-boskume kume-altkume A
  • Ters Simetri Özelliği: (A kume-altkume B ve B kume-altkume A) ancak-ve-ancak A = B dir.
  • Geçişme Özelliği: (A kume-altkume B ve B kume-altkume C) ise A kume-altkume C dir.

 

Kritik Nokta: n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n dir.

Örnek: T = {α,β,Ø} kümesinin alt küme sayısı 23= 8 dir.

Kritik Nokta: n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı;

kume-soru-2

Örnek : 5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı

kume-soru

 

 

 

8 ) Özalt küme: Bir kümenin kendisinden farklı tüm alt kümelerinin her birine özalt küme denir.

Kritik Nokta: n elemanlı bir kümenin özalt kümelerinin sayısı 2n -1 dir.

Örnek: T = {1,2,3,4} kümesinin özalt küme sayısı  

24 -1 = 15 dir.

 

9 ) Evrensel Küme: Bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. E ile gösterilir.

 Kritik Nokta: Tüm kümeler evrensel kümenin alt kümesidir.

 

10) Kuvvet kümesi: Bir kümenin alt kümelerinin oluşturduğu kümeye kuvvet kümesi denir.

Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir.

s(A) = n   ise  s(P(A)) = 2n

Örnek: A= { 1, 2 } ve B = { 0, 1, 2, 3 }

Kümeleri veriliyor ise A kume-altkume  L  kume-altkume B koşulunu sağlayacak, s(B)- s(A)= 2 olduğundan 22 = 4 tane L kümesi vardır.

Kümelerde İşlemler

 

1 ) Kesişim Kavramı:  A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve   A kume-kesisim B  biçiminde gösterilir.

kume-konu-anlatim-1

Kritik Nokta: A ve B kümeleri ayrık kümeler ise bu iki kümenin kesişimi boş kümedir. (Bu önermenin tersi de doğrudur.)

(A kume-kesisim B)  = Ø  ancak-ve-ancak A ve B ayrık kümelerdir.

Kritik Nokta: A ve B kümelerinin kesişimi kümelerden birini veriyorsa, bu küme diğerinin alt kümesidir. (Bu önermenin tersi de doğrudur.)

(A kume-kesisim B)  = A   ancak-ve-ancak  A kume-altkume B

Kesişimin Özellikleri :

  • Tek Kuvvet Özelliği:  kume-kesisim A = A
  • Yutan Eleman Özelliği: kume-kesisim  Ø = Ø
  • Değişme Özelliği:  A kume-kesisim B = B kume-kesisim A
  • Birleşme Özelliği:  (A kume-kesisim B) kume-kesisim M =  A kume-kesisim (B kume-kesisim M)

 

2 ) Birleşim Kavramı:  A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve     A kume-birlesim B  biçiminde gösterilir.

kume-konu-anlatim-2

Kritik Nokta: A ve B kümelerinin eleman sayılarının toplamı A ile B’ nin birleşimlerinin eleman sayısına eşit ise bu kümeler ayrık kümelerdir. (Bu önermenin tersi de doğrudur.)

s(A kume-birlesim B) = s(A) + s(B)  ancak-ve-ancak  A ve B ayrık kümelerdir.

Kritik Nokta : A ve B kümelerinin b irleşimi kümelerden birini veriyorsa, bu küme diğerini kapsar. (Bu önermenin tersi de doğrudur)

(A kume-birlesim  B)  =  A   ancak-ve-ancak  A kume-kapsar B

 

Kritik Nokta: A ve B kümelerinin b irleşimi kümelerden birini veriyorsa, bu küme diğerini kapsar. (Bu önermenin tersi de doğrudur.)

A kume-birlesim B = Ø  ancak-ve-ancak  (A = Ø  ve B = Ø) dir.

Birleşimin Özellikleri :

  • Etkisiz Eleman Özelliği : A kume-birlesim Ø = A
  • Tek Kuvvet Özelliği : A kume-birlesim A = A
  • Değişme Özelliği:   A kume-birlesim B = B kume-birlesim A
  • Birleşme Özelliği:  (A kume-birlesim B) kume-birlesim M = A kume-birlesim (B kume-birlesim M)  

 

Dağılma Özellikleri: 

1 )  Kesişim İşleminin Birleşim İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği:

A, B ve C herhangi üç küme olsun. 

A ∩ (B C) = (A ∩ B ) (A ∩ C) dir.

Bu özelliğe, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine soldan dağılma özeliği denir.

(A B ) ∩ C = (A ∩ C) (B ∩ C) dir.
Bu özeliğe, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği denir.

 

Kritik Nokta: Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine hem soldan hem de sağdan dağılma özeliği olduğundan, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özeliği vardır denir.

2 )  Birleşim İşleminin Kesişim İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği:

A, B ve C herhangi üç küme olsun.
A
(B ∩ C) = (A B ) ∩ (A C) dir.
Bu özeliğe, birleşimi işleminin, kesişim işlemi üzerine, soldan dağılma özeliği denir.

(B ∩ C ) A = (B A) ∩ (C A) dır.

Bu özeliğe birleşim işleminin, kesişim işlemi üzerine, sağdan dağılma özeliği denir.

3 ) Fark Kavramı:   A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A / B biçiminde gösterilir.

kume-konu-anlatim-4

Kritik Nokta: A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere, A/B kümesinin elemanı var fakat B/A kümesinin hiç elemanı yoksa B kümesi A kümesinin alt kümesidir. (Bu önermenin tersi de doğrudur)

s(A/B) ≠ 0 , s(B/A) = 0  ancak-ve-ancak  A kume-kapsar B  dir.

Farkın Özellikleri:

  • A / A = Ø ,  A / Ø = A ,  Ø / A = Ø
  • A / B B / A
  • (A / B ) kume-birlesim B = A kume-birlesim B
  • A / (B kume-kesisim C) = (A / B ) kume-birlesim (A/ C)
  • A / (B kume-birlesim C) = (A / B ) kume-kesisim (A/ C)

 

4 ) Tümleyen Kavramı: Bir kümenin dışında kalan elemanların oluşturduğu kümeye bu kümeni tümleyeni denir.

A kümesinin tümleyeni Aveya Ā ile gösterilir.

Kritik Nokta: Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni yine kendisine eşittir.         (A)‘ = A

Kritik Nokta: B kümesi A kümesinin alt kümesi ise B kümesinin tümleyeni de A kümesinin tümleyeninin alt kümesidir. (Bu önermenin tersi de doğrudur)

B kume-altkume A   ancak-ve-ancak  B’ kume-altkume A dir.

Tümleyenin Özellikleri:

  • E‘ = Ø ,  Ø’ = E
  • s(A) + s(A) = E
  • A kume-birlesim A = E ,    A kume-kesisim A = Ø
  • E  kume-birlesim A = E  ,  E kume-kesisim A = A

 

De Morgan Kuralı 
A ve B herhangi iki küme olsun. Bu kümeler üzerinde yapılan birleşim, kesişim ve tümleme işlemleri arasında De Morgan kuralları vardır.
Buna göre,

(A kume-birlesimB ) = Akume-kesisim B ,  (A kume-kesisim B ) = A kume-birlesim B

ELEMAN SAYISI

A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,

s(A kume-birlesim B ) = s(A) + s( B ) – s(A kume-kesisim B )

 

s(A kume-birlesim B kume-birlesim C) = s(A) + s( B ) + s(C) – s(A kume-kesisim B) – s(A kume-kesisim C) – s(B kume-kesisim C) + s(A kume-kesisim B kume-kesisim C)

 

s(A kume-birlesim B ) = s(A – B ) + s(A kume-kesisim B ) + s(B – A)

a + b + c + d tane telefon sahibinin bulunduğu bir binada V hattını kullananların sayısı s(V) = b + c,

T hattını kullananların sayısı s(T) = a + b,

V ve T hattını kullananların sayısı s(T kume-kesisim V) = b olsun.

kume-konu-anlatim-5

 

 T ve V hattını kullananların sayısı: a + b + c

 Sadece T hattını kullananların sayısı: a

 Sadece V hattını kullananların sayısı: c

 T hattını kullanmayanların sayısı: c + d

 V hattını kullanmayanların sayısı: a + d

 Bu iki hattan en az  birini kullananların sayısı: a + b + c

 Bu iki hattan en çok birini kullananların  sayısı: d + a + c

 Bu iki hattan hiç birini kullanmayanların sayısı: d

 

★★★★ 9. Sınıf Kimya Konu Anlatımları ★★★★

  1. Kimya Bilimi Konu Anlatımı
  2. Atom ve Periyodik Sistem Konu Anlatımı
[Toplam:528    Ortalama:3/5]

Kümeler Konu Anlatımı konusuna 104 tane yorum yapılmış.

  1. sinem dedi ki:

    benim için çokk kolay oldu teşekkür ederim

  2. sinem dedi ki:

    çokkk kolaydı teşekkür ederim

  3. Bayram Akcam dedi ki:

    Cok degisik ve aciklayici bir anlatim tarziniz var. Ozel ders almak icin size nasil ulasabilirim.

  4. Açelyaa dedi ki:

    Örneklerin az olması dışındaa hepsi çok güzell

  5. Açelyaa dedi ki:

    Çok güzel ama örnek az

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir